Beträffande björken som står på din tomt bestämmer enbart du vad som skall hända med den.
Sen kollade jag upp lite vad som gäller om rötter och det är samma som med grenar, dvs grannarna har rätt att kapa rötterna FÖRST sen de vidtalat dig om att göra det och du vägrat. De får dock givetvis inte vara inne på din tomt. Eftersom grannarna gjort det i fel ordning finns det möjlighet för dig att stämma dem och om det går in röta kan de nog blli ersättningskyldiga. Vänta och se vad arboristen kommer fram till. Till dess kan du studera
Jordabalken. , främst 3:e kapitlet, 2:ra paragrafen.